二项式定理的性质课件.ppt

1、 二项式定理的性质二项式定理的性质 学海导航:了解杨辉三角,掌握二项式的几个重要性质 复习回顾复习回顾:二项式定理及展开式二项式定理及展开式:二项式系数二项式系数 1rn rrrnTC ab (0,1,)rnCrn通通 项项 011*()()nnnrn rrnnnnnna bC aC abC abC b nN(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6 =a +b a3+3a2b+3ab2+b3 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+

2、b6 a2+2ab+b2 二、新课(a+b)1=1a +1b (a+b)2=1a2+2ab+1b2 (a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3 (a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 (a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6 (a+b)7=?(a+b)8=?(a+b)n=?(a+b)1 _(a+b)2 _ (a+b)3 _(a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _(a+b)n+1_ 1 1 1 2 1 1 3 3

3、 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 C C C C 1 1n1rnrn1nn 1 C C C 1 11nrn 1nn 1 杨辉三角杨辉三角(a+b)1 _(a+b)2 _ (a+b)3 _(a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _(a+b)n+1_ 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 C C C C 1 1n1rnrn1nn 1 C C C 1 11nrn 1nn 1 杨辉三角杨辉三角 详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载

4、的表 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的 详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似左面的表：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 性质性质1 1：对称性：对称性 mnnmnCC 二二 项项 式式 系系 数数 的的 性性 质质 kknkkknnnnknkn1C)!1()1()2)(1(C1由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 knC1Cknkkn1性质性质2 2：增减性与最大：增减性与最大值值

5、2111nkkkn由：21nk 可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。当当n=6时时,其图象是其图象是7个孤立点个孤立点 f（r）r 6 3 O 6 15 20 1 nnnnnnCCCCba，展开式的二项式系数是）（210nrfrCrn，其定义域是），（为自变量的函数可看成是以从函数的角度看，210f（r）r n O 6 15 20 1 2n2n212n20 10 30 35 O n f（r）n为奇数 212n当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；2nnC当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项

6、和和 相等，且同时取得相等，且同时取得最大值。最大值。21 nnC21 nnCn为偶数 在二项式定理中，令 ，则：1bannnnnn2CCCC210 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于 ，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式 性质性质3 3：各二项式系数的和：各二项式系数的和 性质4:在在(a(ab)b)n n展开式中展开式中,奇数项的二项奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和.)()()1()11(31203210 nnnnnnnnnnnnccccccccc 3120nnnncccc即：3120nnnncccc例例1：求求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大的项的展开式中二项式系数最大的项 解：已知二项式幂指数是偶数，展开式共项，依二 项式系数性质 中间一项的二项式系数最大，则：T5=C84(2x)4=7016x4=1120 x4 三、例题 解：依题意解：依题意,n,n 为偶数，且为偶数，且 若将“只有第若将“只有第10项”改为“第项”改为“第10项”呢？项”呢？例例2